Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen

Abstract

ZusammenfassungFredholm**) hat eine Auflösungsformel der inhomogenen linearen Integralgleichung $$f(s) = {\rm{\phi }}(s) - \lambda \int\limits_a^b K (s,t){\rm{\phi }}(t)dt$$ entdeckt, welche das Resultat enthielt, daß diese Gleichung nach ϕ(s) stets aufgelöst werden kann, wenn λ nicht eine der Nullstellen einer gewissen ganzen Transzendenten δ(λ) ist. Für diese Werte von λ, in Hilbertscher Bezeichnung die sogenannten „Eigenwerte des Kernes K(s,t)“, und nur für diese läßt, wie Fredholm ferner zeigte, die homogene Gleichung $$0 = {\rm{\phi }}(s) - \lambda \int\limits_a^b K (s,t){\rm{\phi }}(t)dt$$ Lösungen zu, die nach Hilbert „zum betreffenden Eigenwert des Kernes K(s, t) gehörige Eigenfunktionen“ genannt werden. Hilbert***) hat die in der Theorie der partiellen und gewöhnlichen Differentialgleichungen so wichtigen Fragen nach der Existenz sogenannter Normalfunktionen und der Entwickelbarkeit willkürlicher Funktionen nach ihnen durch Einführung der Greenschen Funktion auf das viel allgemeinere Problem zurückgeführt, die Existenz von Eigenfunktionen eines in s und t symmetirischen Kernes K(s, t) zu beweisen und die Gesetze der Entwickel-barkeit willkürlicher Funktionen nach ihnen aufzustellen. Die Greens che Funktion selbst wird durch eine Integralgleichung mit unsymmetrischem Kerne bestimmt, wobei die Fredholmschen Formeln zur Anwendung kommen.