Sur les variétés localement affines et localement projectives

Abstract

Sommaire.-Notre propos est l'étude des variétés localement affines et localement projectives [parfois appelées variétés affines et projectives sans courbure ni torsion, ou variétés affinement (resp.projectivement) plates].Plus spécialement, nous étudions les variétés compactes.Nous donnerons d'abord dans cette introduction, les résultats obtenus sur ces variétés en renvoyant au texte lorsque les énoncés comportent des termes dont les définitions ne se laissent pas condenser en peu de mots.Puis, dans un résumé des chapitres, nous indiquerons les méthodes de démonstration, ainsi que les résultats auxiliaires qui nous paraissent mériter mention.Nous terminerons en situant nos théorèmes par rapport à ceux démontrés antérieurement.1. Les résultats.-Voici les trois principaux résultats concernant les variétés localement affines et projectives compactes.A. Si une variété compacte V peut être munie d'une structure localement projective, le produit Vx Si peut être muni d'une structure localement affine (Si désigne le cercle; cf.chap. 1, § 3, prop.1, corrolaire).Si chacune des p variétés compactes Vi peut être munie d'une structure localement projective, le produit Vi X ... X Vi• X . . .X Vp X S^"^ peut être muni d'une structure localement projective (chap.1, § 3, prop.3, corollaire).Les deux autres résultats concernent le revêtement aniversel d'une variété localement affine (resp.projective) compacte : ce revêtement est muni d'une N° 2] VARIÉTÉS LOCALEMENT AFFINES.231 structure d'ouvert étalé au-dessus de l'espace affin (resp.de la sphère projective) (c/.chap. 1, § 1).B. Si le revêtement universel d'une variété localement affine ou projective compacte possède une poche (resp.coque), ce revêtement s'identifie à un ouvert (resp.à un convexe) de l'espace affin, ou de la sphère projective {cf.chap.2, § 3, théorème).Si le revêtement universel W d'une variété localement projective compacte possède une coque stricte, ou si W considéré comme ouvert étalé, a une projection sur la sphère projective dont la fermeture est incluse dans un hémisphère ouvert, W s'identifie à l'intérieur d'un corps convexe de la sphère projective (cf.chap.2, § 3, théorème et prop.2).Le revêtement universel d'une variété localement affine compacte, considérée comme ouvert étalé au-dessus de l'espace affin, a une projection non bornée {cf.chap.2, § 3 : la proposition 1 énonce un résultat plus fort).Poche, coque, coque stricte, sont définis au chapitre 2, paragraphe 1, définitions 1, 2, 3. Corps convexe est défini au chapitre 1, paragraphe 1, définition 11.Sans répéter ces définitions, disons qu'un ouvert étalé qui possède une poche (resp.coque) est univalent (resp.convexe) au voisinage d'un point de sa frontière.J.-P.BENZÉCRI.[INTRODUCTION affin : ce quotient est appelé espace des formes convexes affines : c'est un compact.Le paragraphe 1 contient notamment un lemme {cf.déf. 4 et prop.17) sur les corps convexes dont l'ellipsoïde d'inertie est une sphère de rayon unité : la distance d'un point frontière d'un tel corps à son centre de gravité est comprise entre deux bornes qui ne dépendent que de la définie sdimension.Le paragraphe 2 contient un énoncé sur les relations d'équivalence par un groupe (cf.prop.1).Le chapitre 5 se termine par la démonstration de G. Le paragraphe 1 étudie les limites de transformations projectives : on définit des endomorphismes projectifs dégénérés qui, à la différence des transformations linéaires dégénérées, ne sont pas partout définis {cf.théorème 1 et prop.2).Le paragraphe 2 déunit de nombreux espaces de formes projectives, par exemple l'espace ^(n'.o)des formes projectives pointées; c'est le quotient par le groupe projectif de l'espace des couples formés d'un corps convexe et d'un point de son intérieur; ^(n'.o)est isomorphe à l'espace des formes convexes affines.Le paragraphe 3 étudie ^(/i), l'espace des formes projectives convexes (i.e. quotient par le groupe projectif de l'ensemble des corps convexes).^(/î) n'est pas séparé.On étudie les espaces non séparés ; on définit : un point P' est adhérent à P si P' ç. {P j ; un point P est stable si { P j == [ P }. 11 se trouve que la notion de forme adhérente (étudiée au chapitre 5, § 3. prop.7, 8, 9, 10) est une notion de géométrie infinitésimale directe des corps convexes projectifs {cf.prop.7, 8).Sans détailler, nous rapprocherons ce résultat du suivant : une courbe e admet une tangente au point A/, si la limite des courbes Cn transformées de e par l'homothétie de centre M. de rapport n est une droite; de même, si la forme d'un corps convexe W est adhérente à celle de W r , W est limite de transformés projectifs de W.Soit W un corps convexe dont l'intérieur est revêtement universel d'une variété linéaire projective compacte : la forme de W est stable (prop.3); c'est ce qui permet de démontrer G.3. Les résultats antérieurs.-K.KODAIRA et S. S. CHERN nous ont invité à l'étude de notre objet, défini par G. EHRESMANN (cf.Enseignement mathé-matique^ igSô).Sur le conseil de G.