Théorème d'existence pour certains systèmes d'équations aux dérivées partielles non linéaires

Abstract

Je me suis pos6 le probl~me de Cauchy pour les 6quations aux d6riv6es partielles hyperboliques non lin6aires k propos des 6quations de la gravitation d'Einstein.Ces 6quations se pr6sentent en effet eomme un syst~me de dix 6quations du second ordre, lin6aires, s quatre variables (espaee et temps) et dix fonctions ineonhues, les potentiels de gravitation.Ces 6quations sont du types hyperbolique normal dang un syst&me de eoordonn6es spatio-temporelles r6gulier.Le probl4me du d6terminisme se pose, dans la th6orie d'Einstein, sous forme du probl~me de Cauehy, les donn6es 6tant port6es par une vari6t6 orient6e dans l'espace, relativement s ce syst~me d'6quations.L'6tude de ee probl~me, en supposant les donn6es de Cauchy analytiques 1, avait montr6 que, moyennant quatre conditions v6rifi6es par ces donn6es, il eorrespondait ~ des donn6es initiales, port6es par une surface S non caract6ristique, un espace-temps einsteinien au voisinage de S. L'6tude des surfaces caract6ristiques, d~finies par le fair que les donn6es de Cauchy, port~es par une telle surface, ne d6terminait pas au voisinage un espace-temps, avait montr6 que ces surfaces ~taient tangentes en l'un quelconque de leurs points M au <~ conoide Caract6ristique ~> de sommet M, ce cohoS'de ~tant engendr6 par lag rayons lumineux, g6od6siques de longueur nulie.On voyait ainsi apparaltre des ondes et rayons gravifiques, donnant au champ de gravitation le caract4re d'un ph6nom~ne de propagation et on eonstatait l'identit6 entre les lois de propagation de Ia lumi~re et du champ de gravitation.I1 apparaissalt alors comme tr~s important d'6tendre ces r6sultats art cas de donn~es de Cauchy non analytiques, d'une part parce qu'une telle hypothgse d'analyticit6 n'a pas de sens G. DAamOXS [i]. A. LXCHN~aOWICZ [2].14~4 Y. Fourhs-Bruhat.Je rgsous au ehapitre III le probl~me de Cauchy pour le systgme E en utilisant le syst~me d'~quations int~grales v~rifig par les solutions d'5quations aux d~riv@s partielles E 1 approchSes de E. La dSmonstration est faite en d~tail dans le cas, un peu plus simple, faisant intervenir des dSriv~es d'ordre moins 51evS, (et qui est celui des 5quations de ]a relativitfi) o/1 les coefficients des dSriv~es secondes d@endent des fonctions ineonnues mais non de leurs dSriv@s premieres.Je montre qu'h des donn~es de Cauchy cinq fois diff~rentiables, port~es par an domaine compact d de la surface initiale x 4-0, correspond une solution quatre fois diff~rentiable, unique, des 6quations E dans un domaine D, tronc de cSne ayant pour base le domaine d, si les coefficients de ces ~quations sont quatre fois diff6rentiables.La r6soIution du problgme de Cauchy pour un syst~me E queleonque peut se faire de manigre tout ' X fait analogue: il suffit de consid6rer des ~quations approeh~es non de E lui-m@le mais d'~quations pr6alablement d6riv6es.J'applique, au chapitre IV, les r6sultats precedents aux ~quations de la gravitation.Les ~quatiens de la relativit6 R~-0 se r6duisent en coordonn~es isothermes des 6quations du type E, Ga~=0.Je d6montre, en utilisant les conditions de conservation, que la solution du probl~me de Cauchy, relativement aux ~quations G~-0, satisfait dans tout son domaine d'existence aux conditions d'isothermie s'il enest ainsi des donn6es initiales.Cette solution satisfait donc aux 6quations de gravitation.Je montre qu'elle est unique k un ehangement de eoordonn@s pr~s.J'ai aihsi construit .unespace-temps einsteinien correspondant k des conditions initiales non analytiques, port~es par un domaine d'espaee, et d'una fa~on qui met on 6vidence le caract~re de propagation propre ~ la gravitation relativiste.Je suis heureuse d'exprimer ici ma profonde reconnaissance ~ 1~.Lichnerowicz qui m'a fair largement profiter de la clart6 de vue avec laquelle il aborde les grands problgmes math@~atiques.Aprgs m'avoir sugg6r6 d'entreprendre ca travail il n'a cess6 de me prodiguer les encouragements at les conseils qui re'out permis de le mener bien.Je tiens ~galement ~ adresser rues vifs remereiements ~ M. G. Darmois: l'int6r~t bienveil!antqu'il a toujours montr~ pour rues travaux sur des problgmes dont il fur le premier ~ poser t'essentiel, m'a ~t6 trgs pr~eiaux.Je prie M. Leray qui a bien voulu se joindre au jury de ma thgse et M. P6rSs qui en a accept6 la pr6sidence de trouver iei l'expression de ma respectueuse gratitude.Je remercia trgs respectueusement M. Marcel Riesz de son appui bienvaillant, qui a permis l'impression de ce travail.